linux-l: harmonische Analyse

Steffen Solyga solyga at absinth.net
Mi Apr 26 12:58:07 CEST 2000


Tut mit Leid, daß das folgende etwas off-topic ist, hat aber auch was mit
Rechnen zu tun... Es geht um den Beweis des folgenden Satzes:

Gegeben sei eine periodische Funktion f, welche in eine Fourierreihe entwickelt
wird, und es seien A_0, A_1, ... die Koeffizienten der Cosinus-Funktionen
und B_1, B_2, ... jene der Sinus-Funktionen.
Ist f nichtnegativ, dann gilt für alle k>0   A_k^2 + B_k^2 <= A_0^2.

Verbal bedeutet die obige Ungleichung, daß die Amplitude jeder Teilschwingung
höchstens doppelt so groß wie der Gleichanteil sein kann.
Daß die 2 in der Ungleichung nicht auftaucht, liegt daran, daß A_0 halbiert
in die Reihe eingeht, der Gleichanteil ist A_0/2.

Physikalischer Hintergrund ist die Tatsache, daß die in einer Sendeendstufe
erreichbare Modulation des Anodengleichstromes beschränkt ist; hat der Strom
die Form eines Delta-Impulskammes erreicht, ist endgültig Schluß.
Die periodische Delta-Funktion (sach ich mal so lapidar) erfüllt aber gerade
die Gleichheit in obiger Ungleichung, d.h. alle Schwingungen haben die
dopplete Amplitude des zeiltlichen Mittelwertes.


Mathematischen Gruß,
Steffen.

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Steffen Solyga
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