linux-l: harmonische Analyse

[Jens Dreger]

On Wed, Apr 26, 2000 at 12:58:07PM +0200, Steffen Solyga wrote:
> Tut mit Leid, daß das folgende etwas off-topic ist, hat aber auch was mit

*etwas* ;-)

> Rechnen zu tun... Es geht um den Beweis des folgenden Satzes:
> 
> Gegeben sei eine periodische Funktion f, welche in eine Fourierreihe entwickelt
> wird, und es seien A_0, A_1, ... die Koeffizienten der Cosinus-Funktionen
> und B_1, B_2, ... jene der Sinus-Funktionen.
> Ist f nichtnegativ, dann gilt für alle k>0   A_k^2 + B_k^2 <= A_0^2.
> 
> Verbal bedeutet die obige Ungleichung, daß die Amplitude jeder Teilschwingung
> höchstens doppelt so groß wie der Gleichanteil sein kann.
> Daß die 2 in der Ungleichung nicht auftaucht, liegt daran, daß A_0 halbiert
> in die Reihe eingeht, der Gleichanteil ist A_0/2.
> 
> Physikalischer Hintergrund ist die Tatsache, daß die in einer Sendeendstufe
> erreichbare Modulation des Anodengleichstromes beschränkt ist; hat der Strom
> die Form eines Delta-Impulskammes erreicht, ist endgültig Schluß.
> Die periodische Delta-Funktion (sach ich mal so lapidar) erfüllt aber gerade
> die Gleichheit in obiger Ungleichung, d.h. alle Schwingungen haben die
> dopplete Amplitude des zeiltlichen Mittelwertes.

Hm, wenn das mit dem Beweis nicht klappt, dann stimmt vielleicht mit
Deiner Sende-Endstufe etwas nicht ? Schon mal das Netzteil gewechselt?
Ich nehme mal an, dass die Endstufe _nicht_ uebertaktet ist, richtig ? ;-)

Okok, genug der Scherze, ich sehe nicht, wo das Problem ist:

----------------8<---------------------
\documentclass[a4]{article}
\begin{document}
\[c_k\equiv a_k+i b_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int dx f(x) e^{i k x}\]
\[|c_k|=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx f(x) e^{i k x}\right|
\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx |f(x)|
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx f(x)=a_o\]
\[\Rightarrow|c_k|^2=a_k^2+b_k^2\leq a_0^2\]
\end{document}
----------------------8<----------------

ausschneiden und in datei file.tex, dann:
 latex file.tex; xdvi file.dvi

Die Abschaetzung mit dem Betrag gilt natuerlich immer, dass f(x)>=0
braucht man bei \int |f| = \int f.

Natuerlich muss man das _eigentlich_ quantenmechanisch rechnen. 
Ausserdem habe ich implizit pi>0 angenommen.

Gruss,

Jens.