[linux-l] [OT] Gewichtete Wahrscheinlichkeit, Random

Volker Grabsch vog at notjusthosting.com
Fr Mär 2 04:34:39 CET 2007


On Thu, Mar 01, 2007 at 09:59:26AM +0100, Oliver Bandel wrote:
> > > Das Integral der Normalverteilung lässt sich nur mit numerischer Integration,
> > > nicht in geschlossener Form berechnen.
> > 
> > Was bedeutet für dich "geschlossene Formel"? Ich meine, es ist doch
> > Willkür, welche Funktionen du als "Bausteine" zulässt, und welche
> > nicht.
> 
> Geschlossene Lösbarkeit immathematischen Sinne: man hat eine
> Reihe, die konvergiert.

Die gibt es immer. Nimm die kostante Folge mit dem Funktionswert ;-)

Du meinst sicher eine *einfache* Reihe, die mit den Grundoperationen
auskommt. Also letztlich ne Tailorreihe.

> Integration von x^2 ergibt eine Funktion, Integration
> von sin und cosergibt eine Funktion.
> 
> Für die Integration der Gauß-Funktion lässt sich KEINE
> Funktion angeben!

Was macht das Integral der Gauß-Funktion so besonders? Das ist ebenfalls
ne analytische Funktion, d.h. besitzt ne Tail-Entwicklung. Damit hast
du ebenfalls ne Reihe, die dagegen konvergiert.

Diese Funktion ist nicht "einfacher" oder "komplizierter" als sin
oder ln. Das ist pure Willkür!

Das einzige, was die Benutzung von sin/cos/atan/ln/... "naheliegender"
macht ist die Tatsache

> Man muss sich also was anderes ausdenken... numerische Verfahren eben.

Klar, man kann's auch mit generischen Integrationsverfahren machen.
Kann man, muss man aber nicht.

Da kannst du auch gleich den Sinus durch so ein Verfahren berechnen,
ist ja schließlich das Integral vom Cosinus ...

> > Auch sin und cos, ja sogar das Wurzelziehen, geschehen letztendlich
> > näherungsweise durch eine kleine Iteration.
> 
> Mathematisch gesehen kann man durch grenzwertbildung der Reihen
> vorgehen. Der Rechner kann aber keine unendlichen Reihen verarbeiten,
> statt Grenzwerten hat man dann Näherungen mit soundsovielen Iterationen.

Richtig. Genau das gilt für das Integral der Glockenkurve aber
ebenfalls.

> > Für unsere Zwecke düften die ersten 3-10 Terme der Tailorentwicklung
> > locker ausreichen. Noch schöner wär's natürlich, wenn das Integral
> > der Glockenkurve gleich als Standardfunktion mit geliefert wird.
> 
> Wie viel Rechenaufwand das ist, habe ich nicht ausgerechnet.
> Man will doch hier nicht mit Tailorreihen anfangen?!

Nein, weil die Standard-Funktionen genügen. Aber würden sie es nicht
... die ersten paar Glieder kann man irgendwo nachschlagen, und die
nähern die Funktion garantiert schon viel genauer an, als wir es jemals
brauchen.

> > > Dafür wäre dann entweder einigermassen großer Rechenaufwand notwendig,
> > 
> > Unsinn. Für die benötigte Genauigkeit fällt das nicht ins Gewicht.
> > Das dürfte fast genauso fix wie ein Cosinus gehen.
> 
> Naja, vermutlich ist es alles schnell genug.
> Geht ja ums ?Segeln und nicht um ein Ballerspiel, wo es auf den
> letzten Performance-Kick drauf an kommt ;-) 

Das hat damit überhaupt nichts zu tun, da die Berechnung nur einmalig
gebraucht wird.

> > Die Frage ist eher, ob sich der Implementierungs-Aufwand lohnt. Und
> > *das* ist der Grund, aus dem ich von solch einer komplexen Funktion
> > eher abraten würde.
> 
> Hoher Implementierungsaufwand...

Ja. Das ist der springende Punkt. Aber nicht:

> und sicherlich auch mehr Rechenzeit.

... wenn du krampfthaft versuchst, die Funktion exakt durch bekannte
Funktionen zu beschreiben (was beim Integral der Glockenkurve nicht
geht, wenn du nur sin/cos/atan/sqrt hast), dann könnte das insgesamt
genauso langsam werden.

> Na, ich würde das nicht so ohne weiteres behaupten.
> Numerische Integration auf 100 Nachkommastellen Genauigkeit
> wird sicherlich recht viel Rechenzeit brauchen.

Bei bösartigen Funktionen: ja.

> Es gibt eine Reihe von numerischen Integrationsverfahren
> und alle haben so ihre Problemchen :)

Das ist korrekt. Aber das "Innere" des Integrals ist bekannt und
nicht allzu komplex. Insbsondere kriegst du die n-te Ableitung
des Integrals locker raus. Das Ding ist quasi für eine Tailor-
Entwicklung prädestiniert. Aber wenn du unbedingt ein Integrations-
verfahren drüberjagen willst ... man kann auch in Notepad große
Java-Programme schreiben ...

Da könnte man genauso behaupten, die Berechnung von x^3 wäre aufwändig,
weil für x>100 schon über eine Million Einsen aufaddieren werden müssen.
;-)


Viele Grüße,

    Volker

-- 
Volker Grabsch
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